Lecture6：几何

集合表示

要通过图形学建模表示现实生活中的各个物体，再在计算机上把这些物体呈现出来，就涉及到了几何

一般有两种表示集合的方法：

• 隐式几何表示
• 显示几何表示

隐式几何表示

隐式几何表示是一种用数学关系式来描述几何形状的方法，而不是直接描述其顶点和边界等元素，通常以方程的形式给出，在隐式几何表示法中所有方程的解构成了几何结构

$$f(x,y,z)=(2-\sqrt{x^2+y^2})^2+z^2-1就表示了一个上图中的圆环结构$$

隐式几何通常可以用来表示：

• 代数曲面
• 构造实体几何
• 距离函数
• 水平集
• 分形

而隐式几何表示的优点：

• 容易表述(一个函数就行)，对于存储空间来说非常有利
• 判断一个点在几何内/外特别快
• 与光线求交点特别容易
• 对于简单的形体，描述非常准确，不容易出现误差
• 处理变化的拓扑结构非常容易，比如流体模拟

缺点：很难用函数描述一个复杂的模型，复杂的模型只能用显示表示（三角面模型）

代数曲面

代数曲面是通过一组参数方程定义的曲线和表面，可以使用一个方程来表示的几何体

构造实体几何

构造实体几何是通过布尔运算来组合不同的几何体，一些复杂的几何体就可以通过简单几何体的运算来组成

距离函数

距离函数描述了空间中任何一个点到几何体表面的最小距离，一种特殊的距离函数，符号距离函数（Signed Distance Function），以空间中任意一个点作为输入，根据距离函数的返回值可以判断：

• 当距离函数的值大于0，表示点在几何体外部
• 当距离函数的值小于0，表示点在几何体内部
• 当距离函数的值等于0，表示点在几何体表面

在上图这样一个例子中，一个物体从处运动到处，如果想得到物体在时刻和时刻的中间状态，考虑直接对时刻进行线性的混合，发现并不能得到想要的效果，在处显然比处要更加密集

这时，引入距离函数，对时刻分别通过距离函数重新表示，将在距离函数下的进行线性的混合，发现在处恰好为，而这正是需要的效果，再通过将函数重新还原成实际的情况，即可得到中间时刻时物体的运动情况

水平集

但有时对于表面复杂的集合体来说，距离函数计算起来十分困难，因此可以使用一种距离函数的离散形式——水平集的方法来实现和距离函数同样的功能

水平集存储了一系列的距离值，通过线性插值，可以找到数值为的点，将所有数值为的点相连，即可得到一条表示边界的函数的线，实际则表示一个几何体表面所代表的曲面

而在三维空间中，水平集可以和纹理联系起来，纹理定义了空间中所有点的属性，如：骨骼的密度为，空气为，那么找到这些梯度最大的点就可以作为边界

分形

分形，类似于递归，即局部和整体的形状相似，如下图所示。分形通过迭代函数系统（IFS）来生成。IFS是一种迭代的过程，该过程将函数反复应用于某个起始点或起始数据。这些函数通常是缩放、旋转、平移等操作，同时保持自相似性。

显示几何表示

显示几何表示是一种直接或间接（通过参数映射的方式）来定义点、线、面等元素集合的方法。在显示集合表示中各元素的位置通常由坐标值直接给出，各元素之间的关系通常由数据结构来表示

上图即为一个通过坐标个给出空间中点的坐标的例子

显示几何表示的优点：很容易、快速得到几何模型

缺点：判断点是否在几何内/外很困难

点云

通过大量密集的点构成了面的思想，来表示空间中复杂的几何模型，点的密度越高，几何体的精度越高，扫描所得到的数据一般为点云的数据形式，而这种形式的表示方式通常会被转换成多边形网格

多边形网格

多边形网格是图形学中最常用的几何表示方法，存储点和多边形（一般为三角形或四边形）的坐标，便于后续做顶点处理

在 3D 建模中，我们经常会用到 .obj 格式的模型文件，其本质上是一个文本文件，记录了顶点、法线、纹理坐标、连接关系，由此构成几何体的形状。如下所示，是一个立方体结构的表示

• v 表示顶点
• vn 表示法线（多了两条是因为建模误差）
• vt 表示纹理坐标
• f 表示面，比如 f 5/1/1 1/2/1 4/3/1 表示三角形面是由第 5、1、4 个顶点组成，三个点的纹理坐标是第 1、2、3 对应的纹理坐标，面的法线是第 1 条法线。

曲线

曲线在图形学中的应用十分广泛，比如：相机的拍摄路径，物体的移动路径，动画曲线，矢量字体等

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线时通过一系列控制点定义的曲线，四个控制点即可定义一条贝塞尔曲线，起始方向沿，结束方向沿，经过起始点和结束点的这样一条曲线

德卡斯特里奥算法

德卡斯特里奥给出了贝塞尔曲线的绘制算法

由个控制点绘制出来的贝塞尔曲线称为阶贝塞尔曲线，以阶贝塞尔曲线的绘制举例

• 定义一个时间，分别在和上取位置的点
• 在第一步所得到的两点连线上再次取位置的点
• 通过连续的的取值，即可得到一系列对应的点，也即一条贝塞尔曲线

通过不断的递归操作，可以将更高阶的贝塞尔曲线转为低阶的贝塞尔曲线进行绘制

代数表示

对于上述的算法可以通过代数的表示方法来替代，同样以阶贝塞尔曲线为例：

$$\begin{align*} b_0^1(t)&=(1-t)b_0+tb_1 \\ b_1^1(t)&=(1-t)b_1+tb_2 \\ b_0^2(t)&=(1-t)b_0^1+tb_1^1 \\ b_0^2(t)&=(1-t)^2b_0+2t(1-t)b_1+t^2b_2 \end{align*}$$

由次可以得出阶贝塞尔曲线的代数公式：

$$\begin{align*} b^n(t)=b_0^n(t)&=\sum_{j=0}^{n}b_jB_j^n(t) \\ B_i^n(t)={n\choose i}t^i(1-t)^{n-i} \end{align*}$$

其中称为伯恩施坦多项式

性质

贝塞尔曲线具有一些良好的性质：

• 一定过起点和终点
• 不受仿射变换影响，但受投影变换的影响
• 凸包性质：贝塞尔曲线在所有控制点的凸包范围内

分段贝塞尔曲线

用贝塞尔曲线来绘制一条复杂的曲线时需要更多的控制点，此时控制点的选取极为困难，因此考虑将一条复杂的曲线变为多段贝塞尔曲线相连，可以有效地解决问题

通过将一条曲线划分为多段贝塞尔曲线，每段贝塞尔曲线由四个控制点所控制

当两个贝塞尔曲线连接时，需要满足一定的连续性，通过连接点的阶导数来定义连续性

其他曲线表示方式

常见的曲线表示方式还有：样条，B-样条，非均匀有理B-样条（NURBS）

在中不过多介绍

曲面

三维空间中，一般用曲面来表示各种模型

贝塞尔曲面

贝塞尔曲面的绘制与贝塞尔曲线的绘制类似，首先找到的绘制点，绘制4条贝塞尔曲线，然后在四条贝塞尔曲线上等间距取4个点作为绘制点，最终得到一个贝塞尔曲面

曲面处理

在得到了曲面后一般会对曲面进一步处理。一般有三种处理操作：

• 网格细分（Mesh Subdivison）
• 网格简化（Mesh Simplification）
• 网格正则化（Mesh regularization）

网格细分

将一个多边形拆分成多个多边形

Loop细分

Loop细分只适用于三角形面的细分，具体分为两步：

• 将一个三角形拆分成四个三角形
• 通过一定的加权算法更新新产生的顶点和旧顶点的位置

而更新时，各个点的权重与待更新的点的度有关

Catmull-Clark细分

相比对 Loop 细分，Catmull-Clark 细分是一种更加通用的细分方法，适用于各种多边形网格曲面，Catmull-Clark细分中，将度不为4的点称为奇异点

• 对于每一条边取中点
• 对于每一个多边形内部取一点，如重心
• 连接边的中点和面内一点

每进行一次这样的操作后，所有的非四边形都消失了，并引入了和原来非四边形个数相等的奇异点个数

对于新顶点的更新，Catmull-Clark细分中将其分为了两种

对于旧顶点的更新按另外一种方法

实际效果非常不错

网格简化

在一些情况下，如距离摄像机很远的地方，并不需要做到太高的模型精细程度，这个时候就要通过减面的操作来降低操作复杂度，提升性能

网格简化一般采用边坍缩的方式来实现，减少边的数量，更新相关顶点的位置

在选取坍缩点时，引入一个新的概念：二次度量误差，即更新后的点到所有与它有关的边的距离之和，找到一个二次度量误差最小的点，即为需要的坍缩点