Lecture3 :变换

2维坐标的线性变换

缩放

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ s_x&0\\ 0&s_y\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

对称

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ -1&0\\ 0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

切变

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&a\\ 0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

注意：将图片y轴标准化为1后再乘上对应的矩阵

旋转（绕原点且为逆时针）

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime} \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \cos \theta&-\sin \theta\\ \sin \theta&\cos \theta\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

2维坐标的仿射变换

齐次坐标

维的点：

维的向量：

拓展：如果代表一个维的点，则其代表

平移

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ w^{\prime}\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x+t_x\\ y+t_y\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

仿射变换

仿射变换 = 线性变换 + 平移

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ a&b\\ c&d\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ \end{array} \right] \end{matrix} + \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ t_x\\ t_y\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

齐次坐标下：

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ a&b&t_x\\ c&d&t_y\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$缩放矩阵： S(s_x,s_y) = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$旋转矩阵： R(\alpha) = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \cos \alpha&-\sin \alpha&0\\ \sin \alpha&\cos \alpha&0\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$平移矩阵： T(t_x,t_y) = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

复杂变换

注意顺序

当进行一系列的仿射变换，其对应的齐次左边下的矩阵分别为：时

可以先做的矩阵乘法

对于绕任意一点旋转，可以先将其平移至原点，旋转后再平移回原位置：

3维坐标变换

3维的齐次化坐标

维的点：

维的向量：

维下的仿射变换

$$\begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x^{\prime}\\ y^{\prime}\\ z^{\prime}\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ a&b&c&t_x\\ d&e&f&t_y\\ g&h&i&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$缩放矩阵：S(s_x,s_y,s_z)= \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ s_x&0&0&0\\ 0&s_y&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$平移矩阵:T(t_x,t_y,t_z)= \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$旋转矩阵：R_x(\alpha)= \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&0&0&0\\ 0&\cos \alpha&-\sin \alpha&0\\ 0&\sin \alpha&\cos \alpha&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$R_y(\alpha)= \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \cos \alpha&0&\sin \alpha&0\\ 0&1&0&0\\ -\sin\alpha&0&\cos\alpha&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right] \end{matrix}$$ $$R_z(\alpha)= \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \cos\alpha&-\sin\alpha&0&0\\ \sin\alpha&\cos\alpha&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

罗德里格斯旋转公式

在维空间下，任意的一个旋转

罗德里根旋转公式：

$$R(\vec n, \alpha) = \cos(\alpha)I + (1-\cos(\alpha))nn^T + sin(\alpha) \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

公式推导：

对于空间中任意向量​：将其向旋转轴与垂直于旋转轴的方向上分解有：

$$\vec s = \vec s_{\perp} + \vec s_{\parallel}$$

其旋转后所得到的向量：​同理有：

$$\vec s^{\prime} = \vec s^{\prime}_{\perp} + \vec s^{\prime}_{\parallel}$$

以方向为转轴，方向为方向，有：

$$\hat b = \frac{\vec s_{\perp}}{|\vec s_{\perp}|} \\ \hat c = \hat a \times \hat b = \frac{\hat a \times \vec s_{\perp}}{|\vec s_{\perp}|} =\frac{\hat a \times (\vec s - \vec s_{\parallel})}{|\vec s_{\perp}|} =\frac{\hat a \times \vec s}{|\vec s_{\perp}|} \\ \hat b = - \hat a \times \hat c$$

旋转后不变，旋转角度​，则有：

$$\begin{align*} \vec s^{\prime}_{\perp} &= |\vec s_{\perp}|\cos\alpha \hat b + |\vec s_{\perp}|\sin \alpha \hat c \\ \\ \vec s_{\parallel} &=\vec s在\hat a上的投影向量 \\ &=\hat a(\vec s\cdot\hat a) \\ \\ \vec s^{\prime} &= \vec s^{\prime}_{\perp} + \vec s_{\parallel} =\vec s^{\prime}_{\perp} + \vec s - \vec s_{\perp} \\ &=\cos \alpha \vec s_{\perp} + \sin \alpha \hat a \times \vec s +\vec s - \vec s_{\perp} \\ &=\vec s + (\cos \alpha -1)\vec s_{\perp} + \sin\alpha\cdot\hat a\times \vec s \\ &=\vec s + (\cos \alpha-1)(\vec s - \vec s_{\parallel}) + \sin \alpha N\cdot\vec s \\ &=\cos\alpha\vec s - (\cos\alpha-1)\hat a(\vec s\cdot\hat a) +\sin \alpha N\cdot\vec s \\ &=\cos\alpha\vec s - (\cos\alpha-1)nn^T\vec s + \sin \alpha N\cdot\vec s \\ &=(\cos\alpha I + (1-\cos\alpha)nn^T+\sin\alpha N)\cdot \vec s \\ \\ \therefore R(\vec n,\alpha) &=\cos\alpha I+(1-\cos\alpha)nn^T+\sin\alpha N \\ 当\alpha极小时，R(\vec n,\alpha) &=I+\sin\alpha N = I+\alpha N \end{align*}$$

观测变换

视图变换

如何拍一张照片：

• 找一个地方让人们站过去（模型变换）
• 找一个位置放相机（视图变换）
• 摆造型（投影变换）

先定义三个方向：

• 相机的位置为
• 相机面朝的方向为
• 相机朝上的方向为

相机与物体的相对位置始终是不变的，所以我们可以将相机平移至原点，以相机所在位置建系

以此建系后：相机朝上的方向为轴，面朝的方向为轴

接下来对相机平移至原点，坐标轴转到指定位置做变换：

• 先平移至原点
• 将旋转至轴方向
• 将旋转至方向
• 将旋转至方向

则可得：

易知

考虑先求其逆变换，则相当于将轴旋转至 ，轴旋转至，轴旋转至

$$R_{view}^{-1} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x_{\hat g \times\hat t}&x_t&x_{-g}&0\\ y_{\hat g \times\hat t}&y_t&y_{-g}&0\\ z_{\hat g \times\hat t}&z_t&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \newline$$

$$R_{view} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ x_{\hat g \times\hat t}&y_{\hat g \times\hat t}&z_{\hat g \times\hat t}&0\\ x_t&y_t&z_t&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

投影变换

也即有无影消点的区别

正交变换

一种简单的方式就是将相机放在原点，面朝轴，向上为轴，丢掉z轴即可

对于正交投影，其观测空间为一个轴无限长的长方体

为了方便计算，将这个长方体的观测空间统一正则化为一个的立方体

这个正则化的变换矩阵为：

$$M_{ortho} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \frac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix} \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ 1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\ 0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\ 0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

注意：在右手系下

又物体与相机的相对位置不变，对空间中所有物体进行同样的变换即可

透视变换

考虑这一变换过程，可以分两步：

• 将透视变换对应的台体通过变换转化到正交变换的立方体上
• 进行正交变换

对任意一个点进行上述操作后可得：

易得矩阵的行：

$$M_{persp\to ortho} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&A&B\\ 0&0&1&0\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

经过变换后有两个性质：

• 近平面上的点不变
• 原平面上的点不变

取两个特殊点：和

则有：

解方程组：

$$\left\{ \begin{array}{ll} An+B = n^2\\ Af+B=f^2\\ \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} A=n+f\\ B=-nf\\ \end{array} \right.$$

求得矩阵：

$$M_{persp\to ortho} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

那么最后我们将所有的物体乘上即可得到完成变换的物体坐标

裁剪

无论是正交投影还是透视投影，我们都将观测空间转换成了一个规范立方体，同时将转换矩阵应用到空间中的所有物体中。

之后，我们就可以通过规范立方体对空间进行裁剪，只保留规范立方体内的物体，如下所示。很显然，只有在规范立方体中的部分才是我们可以看见的部分。

视口变换

将我们所正则化后的画布投影到屏幕上

即将的平面转换到这样一个平面上

最后得到视口变换的矩阵：

$$M_{viewport} = \begin{matrix} \left[ \begin{array}\\ \frac{width}{2}&0&0&\frac{width}{2}\\ 0&\frac{height}{2}&0&\frac{height}{2}\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ \end{array} \right] \end{matrix}$$

即：切变+平移